Il Teorema di Pitagora riassume in modo esemplare le proprietà uniche ed esclusive dell'angolo retto. Nella tradizione è legato al demone divino del filosofo di Samo, ma risale in realtà a tempi remoti ed è patrimonio comune di diverse culture. Ripresentandosi regolarmente in formalismi complessi, questo celeberrimo Teorema si è rivelato una delle acquisizioni stabili e irrinunciabili della matematica, che continua a servirsene anche nelle sue tecniche avanzate. Ma se da un lato esprime aspetti essenziali del pensiero antico, dall'altro offre un osservatorio privilegiato per scoprire come il calcolo moderno ha provveduto a rimuovere con ogni cura i motivi religiosi e filosofici che hanno segnato la sua origine. La conseguenza di questa rimozione è la rinuncia a una sfera più ampia dell'esattezza, e a quel mondo ideale che per Hermann Weyl ne costituiva l'intimo cuore. Un cuore che questo nuovo, acuminato libro di Paolo Zellini ci permette di avvertire nelle sue pulsazioni più segrete.
"A partire dalla Grecia, la scienza è una sorta di dialogo fra il continuo e il discreto» scriveva Simone Weil. Un dialogo inevitabile perché il continuo e il discreto «sono un dato della mente umana, che pensa necessariamente l'uno e l'altro, ed è naturale che passi dall'uno all'altro». Più che categorie della Natura - a cui si potrebbero assimilare le immagini del mare e dei granelli di sabbia - continuo e discreto sono i poli di una fondamentale complementarità del pensiero di tutti i tempi e le loro applicazioni arrivano ovunque: dai numeri irrazionali ai pixel che compongono le immagini digitali, agli algoritmi proliferanti su cui si regge il nostro mondo. In questo libro Paolo Zellini non si limita a ripercorrere - con la precisione e la profondità di indagine che lo contraddistinguono - la storia della millenaria contesa tra due potenze complici e nemiche, ma va molto oltre: ci aiuta finalmente a delimitarne i territori, risvegliandoci dal «sonno dogmatico» che impediva di coglierne i rispettivi ruoli. Fin dall'antichità siamo abituati a pensare il continuo come un primum, un insieme ideale, autosufficiente, ovunque denso e compatto, da cui ogni cosa ha origine. Allo stesso tempo, per ragioni di utilità ed efficacia, accettiamo che quel primum si trovi anche in mezzo ai numeri, e quindi nel discreto. Eppure, afferma Zellini «ciò che conosciamo effettivamente è solo il discreto» e tutto il calcolo moderno si basa sull'informazione insita nelle serie di numeri che approssimano elementi di un continuo che non potremo conoscere mai. Perché dunque non capovolgere la prospettiva e pensare il continuo come «un'approssimazione del discreto»? Questa l'audace tesi di Zellini, che ruota intorno al circolo vizioso par excellence della matematica, lasciandone intravedere una possibile via d'uscita. Ma allora che cosa resta del continuo? È davvero qualcosa di cui dovremmo o potremmo disfarci? Sarebbe un grave errore pensarlo. Anche se inconoscibile, il continuo rimane un presupposto ineliminabile, un abisso senza fondo «più oscuro e impenetrabile dello stesso infinito». E «nelle tenebre di quell'abisso, di quella totalità amorfa e indefinibile che ci circonda da ogni parte, non smette mai di brillare immutato un tesoro".
Categoria temibile e sfuggente, concetto che "corrompe e altera tutti gli altri" (Borges), l'infinito ha una storia millenaria, che coinvolge matematica, misticismo, letteratura e filosofia. In questo volume Zellini ne analizza l'evoluzione, dalla Grecia antica a oggi, dall'apeiron di Anassimandro alle attuali suggestioni dell'"infinito aperto".
Perché la scienza non ha potuto prescindere dagli algoritmi, e da quanto tempo il calcolo è entrato prepotentemente in ogni settore della nostra vita? Che cosa può e che cosa non può essere automatizzato? La matematica possiede sempre e comunque le qualità che le sono generalmente attribuite, come l'utilità, l'armonia o l'efficacia in ogni sua applicazione? Questo libro offre una risposta penetrante e articolata a domande che appaiono oggi ineludibili. Zellini le affronta con un rigore e con una misura che fanno emergere con evidenza tutto l'interesse scientifico del pensiero algoritmico, come pure il carattere virtualmente apocalittico di ciò che appare ormai un dominio incontrastato del calcolo digitale. Se non si vogliono ignorare i princìpi di libertà e di responsabilità, non si può rimanere estranei o indifferenti alla diffusione di una scienza che si ispira a un criterio fondamentale di effettività e di efficienza meccanica, ultimo fondamento e pietra angolare del calcolo, ma anche causa di inevitabili pregiudizi e travisamenti.
I numeri sono un'invenzione della mente o una scoperta con cui la mente accerta l'esistenza di qualcosa che è nel mondo? Domanda a cui da secoli i matematici hanno cercato di rispondere e che si può anche formulare così: che specie di realtà va attribuita ai numeri? Con la sua magistrale perspicuità, Zellini affronta questi temi, che non riguardano solo i matematici ma ogni essere pensante. Collegata alla prima, si incontrerà un'altra domanda capitale: come può avvenire che qualcosa, pur crescendo in dimensione (e nulla cresce come i numeri), rimanga uguale? Domanda affine a quella sull'identità delle cose soggette a metamorfosi. Ed equiparabile a quelle che si pongono i fisici sulla costituzione della materia.
Per le esigenze del calcolo digitale i modelli matematici devono essere approssimati con "procedure puramente aritmetiche" grazie a "metodi iterativi o per passi successivi". Con queste parole, intorno al 1950, Herman Goldstine e John von Neumann segnalavano l'importanza degli algoritmi iterativi nel calcolo scientifico su grande scala. Essi osservavano pure che, a causa dell'elevata mole dei calcoli, i metodi computazionali sono condizionati da ciò che è effettivamente realizzabile nel tempo e nello spazio di un processo automatico. Da qui nasceva un nuovo orientamento di ricerca basato sull'analisi della complessità dei problemi numerici. Oggi iterazione e complessità sono diventati una chiave per rispondere a due quesiti fondamentali: che cosa, in generale, può essere automatizzato? E come si possono risolvere i più diversi problemi della matematica applicata, ad esempio quelli posti dalla fluidodinamica e dall'elaborazione di immagini, dall'apprendimento automatico e dai motori di ricerca su rete? Questo libro si propone di attraversare uno dei settori più ardui e intricati della scienza del calcolo in una prospettiva originale: si combinano sistematicamente complessità e iterazione e si esplorano i percorsi che legano, per diverse teorie, le motivazioni originarie ai risultati più recenti.
“Logos” non è soltanto “il verbo” che sta all'inizio del tutto, come dice il Vangelo di Giovanni, ma da sempre numero e “logos” si sono variamente intrecciati, tanto che l'uno non sarebbe esistito senza l'altro. Appaiono insieme già nei versi di Omero, se ne intuisce l'affinità fin nelle prime teogonie, nella tragedia antica e nella filosofia pitagorica, e nelle fonti da cui si ricava l'origine rituale della matematica il numero ha un valore simile a quello che avrebbe assunto il logos. Sarebbe dunque un controsenso - è quel che suggerisce Paolo Zellini additando temerariamente nel numero i suoi significati primi e fondamentali - inscrivere il “logos”, come si è soliti fare, nella sola sfera del linguaggio. Giacché, a seconda di come si intendano le due parole muterà il quadro di tutto il pensiero. E ciò appunto si azzarda in questo libro, che è una vera sfida intellettuale. E sono innanzitutto la matematica, la logica dell'ultimo secolo e mezzo e l'informatica della seconda metà del Novecento a suffragare questa visione. Individuando nella procedura effettiva della enumerazione elementi utili a porre su nuove basi il discorso enunciativo, il logos che categorizza e cerca di descrivere in modo discorsivo, mediante concetti e definizioni, l'essenza delle cose, Zellini rivisita così, illuminandolo, anche il concetto di algoritmo.
Per la prima volta si presenta questo testo inedito del matematico triestino Paolo Zellini, che contiene diversi elementi di una sua conferenza dal titolo Numero e Logos, tenuta il 27 aprile 2006 presso la Facoltà di Architettura e di Ingegneria dell'Università degli Studi di Parma. Un testo che sviluppa una visione ampia della cultura e che ricerca nessi e collegamenti non solo nell'ambito della ricerca matematica ma anche fra il pensiero antico e la scienza moderna. Il testo è accompagnato da opere consonanti di Ferdinando Cogni, poeta e sensibile artista nato a Piacenza nel 1919. Una scelta fatta per sottolineare la necessità di far dialogare la cultura umanistica e quella scientifica che ancora oggi, passati circa cinquant'anni dalla denuncia di Charles P. Snow in merito alla loro frequente separazione, sembrano spesso lontane le une dalle altre. Si tratta di tavole del tutto inedite, scelte tra i numerosi lavori da lui realizzati in questi ultimi anni.
Lo "gnomone" di cui si parla in questo libro non è quello stilo, più o meno monumentale, la cui ombra indica l'ora solare, ma un semplice strumento matematico: una figura geometrica, piana o solida, che aggiunta a un'altra ne genera una simile. Si tratta quindi di una tecnica, ampiamente diffusa nell'antichità, atta a ingrandire o rimpicciolire una forma conservandone l'aspetto. Lo gnomone non aveva solo importanza geometrica. Dalla semplice operazione di correzione "gnomonica" di una figura sono dipesi infatti la stessa nozione di numero, la definizione di vari concetti dell'Analisi e alcuni tra i principali algoritmi numerici e algebrici della matematica.
